前回 : はじめての現代制御理論講義01 現代制御とは - ma-hi-ro Hobby

講義02 状態空間表現

伝達関数か、状態方程式か
個人的に、「観測方程式」という表現が好き

講義02 状態空間表現

直流モータ

入力電圧 $V_i(t)$ 、抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、モータ逆起電圧 $V_b(t)$ とすると、電流 $i(t)$ について

$\displaystyle L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) = V_i(t) - V_b(t)$

モータの慣性モーメント $J$ 、モータの粘性摩擦係数 $B$ 、トルク $\tau (t)$ とすると、モータの角速度 $\omega(t)$ について

$\displaystyle J \frac{d\omega(t)}{dt} + B \omega(t) = \tau (t)$

また、逆起電圧 $V_b(t)$ は角速度 $\omega(t)$ と逆起電力定数 $K_b$ を用いると

$\displaystyle V_b(t) = K_b \omega(t)$

さらに、トルク $\tau (t)$ は電流 $i(t)$ とトルク定数 $K_{\tau}$ を用いると

$\displaystyle \tau (t) = K_{\tau} i(t)$

これらから、状態方程式と観測方程式は下記になる

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} i (t) \\ \omega (t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{R}{L} & -\frac{K_b}{L} \\ \frac{K\_{\tau}}{J} & -\frac{B}{J} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i (t) \\ \omega (t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{pmatrix} V_i(t)$

$\displaystyle y (t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i (t) \\ \omega (t) \end{pmatrix}$

本来は観測できない電流 $i (t)$ を、オブザーバで推定できるところが、現代制御の面白いところだと思う

結合した2タンクシステム

2タンクシステムで、タンク1とタンク2が、 $\frac{1}{R_1} (h_1 - h_2)$ の流量でつながっている系を考える
タンク1への流入量は $q_i (t)$ 、タンク2からの流出量を $\frac{1}{R_2} h_2$ で表す各タンクの底面積は $C_i$ 、水面の高さは $h_i$

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} h_1 (t) \\ h_2 (t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{R_1 C_1} & \frac{1}{R_1 C_1} \\ \frac{1}{R_1 C_2} & -\frac{1}{R_1 C_2} - \frac{1}{R_2 C_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 (t) \\ h_2 (t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{C_1} \\ 0 \end{pmatrix} q_i(t)$