前回 : はじめての現代制御理論講義09 状態フィードバックと極配置 - ma-hi-ro Hobby

講義10 システムの可制御性と可観測性

実問題で重要になる「可制御性」と「可観測性」
可制御でなければ、フィードバック制御ができない
可観測でなければ、オブザーバが構成できず、状態ベクトルが推定できず、結果、フィードバック制御ができない

講義10 システムの可制御性と可観測性

線形システムの構造

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + b u(t) \\ y (t) &= c x(t) \end{aligned}$

のシステムを対角化すると、

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{z}(t) &= \hat{A} z(t) + \hat{b} u(t) \\ y (t) &= \hat{c} z(t) \end{aligned}$

ここで、

$\displaystyle \begin{aligned} \hat{A} &= T^{-1} A T \\ \hat{b} &= T^{-1} b \\ \hat{c} &= c T \end{aligned}$

$\displaystyle \hat{A} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \ddots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$

状態遷移図で描くと、

となり、各固有値 $\lambda_i$ ごとのサブシステムで構成されていることが分かる

ここで、
$\hat{b_i} = 0$ のサブシステムを不可制御なサブシステム
$\hat{c_i} = 0$ のサブシステムを不可観測なサブシステム
という

具体的なサブシステムの分析

下記のシステムについて

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ x_3 (t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ x_3 (t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} u(t) \\ y(t) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ x_3 (t) \end{bmatrix} \end{aligned}$

固有値は、 $\lambda = 1, 3, -2$ になり、
対角行列 $T$ と、その逆行列 $T^{-1}$ は、

$\displaystyle \begin{aligned} T &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 11 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -14 \end{bmatrix} T^{-1} &= \frac{1}{30} \begin{bmatrix} 15 & -25 & 10 \\ 15 & 3 & 12 \\ 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}$

対角化すると、

$\displaystyle \begin{aligned} \hat{A} &= T^{-1} A T &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \\ \hat{b} &= T^{-1} b &= \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 0 \\ 14 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \hat{c} &= c T &= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 25 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

状態変数線図は、

となる。
固有値が 1 のサブシステムは、不可観測
固有値が 3 のサブシステムは、不可制御
固有値が -2 のサブシステムだけ、可制御・可観測
になっている。

ちなみに、逆行列の取り方によって、 $z_1, z_2, z_3$ の順番や符号が多少変化する。
参考書などの結果を再現させる際は注意。

線形システムの可制御性・可観測性

それぞれ下記の行列のランクを調べることで、可制御性・可観測性を調べることができる

可制御性行列

$\displaystyle U_c = \begin{bmatrix} \lbrack b \rbrack & \lbrack Ab \rbrack & \lbrack A^2b \rbrack & \cdots & \lbrack A^{n-1}b \rbrack \end{bmatrix}$

上記、可制御性行列において、 $| U_c | \neq 0$ であれば、システムは可制御である

可観測性行列

$\displaystyle U_o = \begin{bmatrix} \lbrack c \rbrack \\ \lbrack cA \rbrack \\ \lbrack cA^2 \rbrack \\ \vdots \\ \lbrack cA^{n-1} \rbrack \end{bmatrix}$