前回 : はじめての現代制御理論講義08 システムの応答と安定性 - ma-hi-ro Hobby

講義09 状態フィードバックと極配置

講義09 状態フィードバックと極配置

状態フィードバック制御による安定化法

$\displaystyle \dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\$

のシステムにおいて、 $u(t)$ として、下記を用いて、 $x(t)$ のフィードバック制御を考える

$\displaystyle u(t) = -f x(t) = - \begin{bmatrix} f_1 & f_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} = - f_1 x_1 (t) - f_2 x_2 (t)$

状態方程式は、

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) - b f x(t) \\ &= (A - b f) x(t) \\ &= A_f x(t) \end{aligned}$

これを解くと、 $x(t) = e^{A_f t} x(0)$ になり、
この $A_f = A - bf$ の固有値を適切に配置することで安定化を行う

2x2の具体例

下記のシステムについて

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t)$

このままだと、固有値は、

$\displaystyle \begin{vmatrix} \lambda I - A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 2 & \lambda - 3 \end{vmatrix} = \lambda ^2 - 3 \lambda + 2 = (\lambda - 1) (\lambda - 2)$

となり、システムは不安定になる

$u(t) = - \begin{bmatrix} f_1 & f_2 \end{bmatrix} x(t)$ とフィードバック制御をすると

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 & f_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ f_1 & f_2 \end{bmatrix} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 - f_1 & 3 - f_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} \end{aligned}$

この固有値は、

$\displaystyle \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 2 + f_1 & \lambda - 3 + f_2 \end{vmatrix} = \lambda ^2 - (3 - f_2) \lambda + 2 + f_1$

この値を $\lambda = -2, -3$ 、 $\lambda ^2 + 5 \lambda + 6$ なるようにするには、

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 3 - f_2 = 5 \\ 2 + f_1 = 6 \end{matrix} \right. = \left\{ \begin{matrix} f_1 = 4 \\ f_2 = 8 \end{matrix} \right.$

Pythonによる数値シミュレーション

上記の例と同じ状態方程式で、フィードバック制御を逐次計算してシミュレーションしてみる
初期値は $x(0) = [ 1, 1$ ]

例9.1 $\lambda = -2, -3$

$f = [ 4, 8$ ]

x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]
t = [0.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1] + 0.0 * (-4 * x1_arr[-1] -8 * x2_arr[-1])) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-2 * x1_arr[-1] + 3  * x2_arr[-1] + 1.0 * (-4 * x1_arr[-1] -8 * x2_arr[-1])) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]

fig = plt.figure(figsize=(6, 4))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(t, x1_arr, '-', label='x1')
ax.plot(t, x2_arr, '--', label='x2')
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(-1.0, 1.5)
fig.tight_layout()

収束する

例9.2 $\lambda = -5, -6$

$f = [28, 14$ ]

x1_arr2 = [1.0]
x2_arr2 = [1.0]
t2 = [0.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr2 += [x1_arr2[-1] + (0  * x1_arr2[-1] + 1  * x2_arr2[-1] + 0.0 * (-28 * x1_arr2[-1] - 14 * x2_arr2[-1])) * dt]
    x2_arr2 += [x2_arr2[-1] + (-2 * x1_arr2[-1] + 3  * x2_arr2[-1] + 1.0 * (-28 * x1_arr2[-1] - 14 * x2_arr2[-1])) * dt]
    t2      += [t2[-1] + dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-', label='9.1')
ax1.plot(t2, x1_arr2, '--', label='9.2')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_ylabel('$x_1$')
ax1.set_xlim(0, 10)
ax1.set_ylim(0.0, 1.5)

ax2.plot(t, x2_arr, '-', label='9.1')
ax2.plot(t2, x2_arr2, '--', label='9.2')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_ylabel('$x_2$')
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(-2.5, 1.0)
fig.tight_layout()

極配置を負に大きくすると、より早く収束する

例9.3 $\lambda = -1 + j3, -1 - j3$

$f = [ 8, 5$ ]

x1_arr3 = [1.0]
x2_arr3 = [1.0]
t3 = [0.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr3 += [x1_arr3[-1] + (0  * x1_arr3[-1] + 1  * x2_arr3[-1] + 0.0 * (-8 * x1_arr3[-1] - 5 * x2_arr3[-1])) * dt]
    x2_arr3 += [x2_arr3[-1] + (-2 * x1_arr3[-1] + 3  * x2_arr3[-1] + 1.0 * (-8 * x1_arr3[-1] - 5 * x2_arr3[-1])) * dt]
    t3      += [t3[-1] + dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-', label='9.1')
ax1.plot(t3, x1_arr3, '--', label='9.3')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_ylabel('$x_1$')
ax1.set_xlim(0, 10)
ax1.set_ylim(-0.4, 1.2)

ax2.plot(t, x2_arr, '-', label='9.1')
ax2.plot(t3, x2_arr3, '--', label='9.3')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_ylabel('$x_2$')
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(-2.5, 1.0)
fig.tight_layout()