前回 : Pythonによる制御工学入門第3回 - ma-hi-ro Hobby

Pythonによる制御工学入門第4回

前回は閉ループの周波数特性を可視化した
しかし、制御器を調整する上では、開ループの周波数特性を確認することが有効である

今回は、参考書の6章「開ループ系に注目した制御設計」の
6.2「PID制御」のボード線図を自作の数値シミュレーションで再現する

また、閉ループの周波数特性から、計算で、開ループの周波数特性を取得する方法も紹介する

Pythonによる制御工学入門第4回

PID制御

前回と同じ垂直駆動アームのモデルに対して、PID制御を行う

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import control.matlab as pyctrl

g  = 9.81                # 重力加速度[m/s^2]
l  = 0.2                 # アームの長さ[m]
M  = 0.5                 # アームの質量[kg]
mu = 1.5e-2              # 粘性摩擦係数[kg*m^2/s]
J  = 1.0e-2              # 慣性モーメント[kg*m^2]

target = 30 # 目標角度 [deg]
kp = 2.0
ki = 5
kd = 0.1

今回は、0.1Hz ~ 10Hz までを等比で100分割する

hz_s = []
hz = 0.1
while True:
    if hz > 10 * 10 ** (2 / 100):
        break
    hz_s.append(hz)
    hz = hz * 10 ** (2 / 100)

各周波数の結果の評価の関数を定義する

from scipy.optimize import curve_fit

def sin_func2(x, p0, p1, p2, ofs):
    return p0 * np.sin(2.0 * np.pi * p1 * x + p2) + ofs

def _convert_phase(phase):
    phase += 180
    phase %= 360
    if phase < 0:
        phase += 180
    else:
        phase -= 180
    return phase

def _convert_param(param):
    param = param.copy()
    param[2] = param[2] / np.pi * 180
    if param[0] < 0:
        param[0] = -param[0]
        param[2] += 180

    param[2] = _convert_phase(param[2])

    return param

def calc_f_func(param1, param2):
    param1 = _convert_param(param1)
    param2 = _convert_param(param2)

    freq = param1[1]
    gain = param2[0] / param1[0]
    phase = param2[2] - param1[2]
    phase = _convert_phase(phase)

    return param1, param2, freq, gain, phase

周波数応答

閉ループの場合は、正弦波を目標値にしていたが、
開ループの場合は、正弦波を偏差として代入する
現在値に関係なく制御が行われることになるので、フィードバック制御が切れて開ループになる

dt = 0.001
df_list = []
for hz in hz_s:
    t_s = [0.0]
    x_s = [0.0]
    v_s = [0.0]
    a_s = [0.0]
    F_s = [0.0]
    err_s = [0.0]
    pre_err = 0.0
    integ = 0.0

    for i in range(50000):
        err = target * np.sin(2.0 * np.pi * hz * t_s[-1])
        err_s += [err]
        integ += err
        F_s += [ err * kp + (err - pre_err) * kd / dt + integ * ki * dt]
        a_s += [(- mu * v_s[-1] - M * g * l * x_s[-1] + F_s[-1]) / J]
        v_s += [v_s[-1] + a_s[-1] * dt]
        x_s += [x_s[-1] + v_s[-1] * dt]
        t_s += [t_s[-1] + dt]
        pre_err = err

    df = pd.DataFrame()
    df['in']  = err_s[10000:]
    df['out'] = x_s[10000:]
    df.index  = t_s[10000:]
    df_list += [df]

周波数解析を実施

data_s = []
for hz, df in zip(hz_s, df_list):
    p0 = [target, hz, 0.0, df['in'].mean()]
    p1, conv = curve_fit(sin_func2, np.array(df.index), np.array(df['in']), p0=p0)

    p0 = [target, hz, 0.0, df['out'].mean()]
    p2, conv = curve_fit(sin_func2, np.array(df.index), np.array(df['out']), p0=p0)

    param1, param2, freq, gain, phase = calc_f_func(p1, p2)

    data_s.append([freq, gain, phase])

df_res = pd.DataFrame(data_s)
df_res.columns = ['freq', 'gain', 'phase']

結果を表示する
controlモジュールと比較する

fig = plt.figure(figsize=(6, 5))
ax1 = fig.add_subplot(2, 1, 1)
ax2 = fig.add_subplot(2, 1, 2)

ax1.plot(df_res['freq'], np.log10(df_res['gain'])*20.0, 'o-', label='sim')
ax2.plot(df_res['freq'], df_res['phase'], 'o-', label='sim')

P = pyctrl.tf([0, 1], [J, mu, M *g *l])
K = pyctrl.tf([kd, kp, ki], [1, 0])
H = P * K
gain, phase, w = pyctrl.bode(H, pyctrl.logspace(-1,2), plot=False)
ax1.plot(w/(2*np.pi), 20*np.log10(gain), label='pyctrl')
ax2.plot(w/(2*np.pi), phase*180/np.pi, label='pyctrl')

ax2.set_ylim(-190, 10); ax2.set_yticks([-180, -90, 0])
ax1.legend(); ax1.grid(); ax1.set_xscale('log')
ax1.set_ylabel('Gain [dB]')
ax2.legend(); ax2.grid(); ax2.set_xscale('log')
ax2.set_xlabel('[Hz]')
ax2.set_ylabel('Phase [deg]')
fig.tight_layout()

良く特性が再現できていそう
ただ、開ループ特性の場合、評価時のフィッティングが安定せず、関数とパラメータの調整を行った

閉ループ特性から算出する

上記の方法で、開ループ特性を取得することはできるが、
開ループ制御の場合、現在値が補償されないため、装置が暴走する懸念がある
そこで、閉ループで取得した特性から、開ループ特性を算出する方法を紹介する

閉ループと開ループの伝達関数の関係

開ループの伝達関数 $P_o (s)$ と閉ループの伝達関数 $P_c (s)$ の関係は、

$\displaystyle P_{c}(s) = \frac{P_o (s)}{1 + P_o (s)}$

$\displaystyle P_{o}(s) = \frac{P_c (s)}{1 - P_c (s)}$

ここで、 $P_1 (s) = P_c (s)$ 、 $P_2 (s) = \frac{1}{1 - P_c (s)}$ とおくと、

$P_o (s) = P_1 (s) P_2 (s)$ と表すことができ、

ゲインは、

$\displaystyle |P_o (s)| = |P_1 (s)| |P_2 (s)|$

位相は、

$\displaystyle \angle P_o (s) = \angle P_1 (s) + \angle P_2 (s)$

で取得できる

$P_1 (s)$ 、 $P_2 (s)$ のゲインと位相を求めるためには、

そもそもの $P_c (s) = P_c (j \omega) = A + j B$ と表すと、

ゲインと、位相は、

$\displaystyle |P_c (j \omega)| = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\displaystyle \angle P_c (j \omega) = tan^{-1} \frac{B}{A}$

となる

上記がそのまま $|P_1 (j \omega)|$ 、 $\angle P_1 (j \omega)$ になる

一方、 $P_2 (j \omega)$ については、

$\displaystyle P_2 (j \omega) = \frac{1}{1 - P_c (j \omega)} = \frac{1}{1 - A - j B} = \frac{1 - A + j B}{(1 - A)^2 + B^2}$

から

$\displaystyle |P_2 (j \omega)| = \sqrt{\frac{(1 - A)^2 + B-^2}{((1 - A)^2 + B^2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{|(1 - A)^2 + B^2|}}$

$\displaystyle \angle P_2 (j \omega) = tan^{-1} \frac{B}{1 - A}$

これで、 $|P_1 (j \omega)|$ 、 $|P_2 (j \omega)|$ 、 $\angle P_1 (j \omega)$ 、 $\angle P_2 (j \omega)$ が求まったので、

$|P_o (j \omega)|$ 、 $\angle P_o (j \omega)$ を求めることができる

実際に求めてみる

実際に、閉ループ特性を取得し、開ループ特性を算出する

dt = 0.001
df_list = []
for hz in hz_s:
    t_s = [0.0]
    x_s = [0.0]
    v_s = [0.0]
    a_s = [0.0]
    F_s = [0.0]
    ref_s = [0.0]
    pre_err = 0.0
    integ = 0.0

    for i in range(50000):
        ref = target * np.sin(2.0 * np.pi * hz * t_s[-1])
        ref_s += [ref]
        err = ref - x_s[-1]
        integ += err
        F_s += [ err * kp + (err - pre_err) * kd / dt + integ * ki * dt]
        a_s += [(- mu * v_s[-1] - M * g * l * x_s[-1] + F_s[-1]) / J]
        v_s += [v_s[-1] + a_s[-1] * dt]
        x_s += [x_s[-1] + v_s[-1] * dt]
        t_s += [t_s[-1] + dt]
        pre_err = err

    df = pd.DataFrame()
    df['in']  = ref_s[10000:]
    df['out'] = x_s[10000:]
    df.index  = t_s[10000:]
    df_list += [df]

data_s = []
for hz, df in zip(hz_s, df_list):
    p0 = [target, hz, 0.0, df['in'].mean()]
    p1, conv = curve_fit(sin_func2, np.array(df.index), np.array(df['in']), p0=p0)

    p0 = [target, hz, 0.0, df['out'].mean()]
    p2, conv = curve_fit(sin_func2, np.array(df.index), np.array(df['out']), p0=p0)

    param1, param2, freq, gain, phase = calc_f_func(p1, p2)

    data_s.append([freq, gain, phase])

df_res = pd.DataFrame(data_s)
df_res.columns = ['freq', 'gain', 'phase']

取得した閉ループ特性から開ループ特性を計算する

gain_open_s = []
phase_open_s = []
for i in df_res.index:
    data = df_res.loc[i]

    tan_theta = np.tan(np.deg2rad(data['phase']))
    A = data['gain'] / np.sqrt(1 + tan_theta**2)
    if abs(data['phase']) > 90:
        A = -A
    B = A * tan_theta

    gain_open  = data['gain'] / np.sqrt(np.abs((1.0 - A)**2 + B**2))
    phase_open = data['phase'] + np.rad2deg(np.arctan2(B, 1 - A))

    gain_open_s  += [gain_open]
    phase_open_s += [phase_open]

df_res['gain_open']  = gain_open_s
df_res['phase_open'] = phase_open_s

表示する

fig = plt.figure(figsize=(6, 5))
ax1 = fig.add_subplot(2, 1, 1)
ax2 = fig.add_subplot(2, 1, 2)

ax1.plot(df_res['freq'], np.log10(df_res['gain_open'])*20.0, 'o-', label='sim')
ax2.plot(df_res['freq'], df_res['phase_open'], 'o-', label='sim')

P = pyctrl.tf([0, 1], [J, mu, M *g *l])
K = pyctrl.tf([kd, kp, ki], [1, 0])
H = P * K
gain, phase, w = pyctrl.bode(H, pyctrl.logspace(-1,2), plot=False)
ax1.plot(w/(2*np.pi), 20*np.log10(gain), label='pyctrl')
ax2.plot(w/(2*np.pi), phase*180/np.pi, label='pyctrl')

ax2.set_ylim(-190, 10); ax2.set_yticks([-180, -90, 0])
ax1.legend(); ax1.grid(); ax1.set_xscale('log')
ax1.set_ylabel('Gain [dB]')
ax2.legend(); ax2.grid(); ax2.set_xscale('log')
ax2.set_xlabel('[Hz]')
ax2.set_ylabel('Phase [deg]')
fig.tight_layout()