前回 : はじめての現代制御理論講義10 システムの可制御性と可観測性 - ma-hi-ro Hobby

講義11 オブザーバの設計

現代制御のすごいところ
状態ベクトルが観測できない場合でも、オブザーバを用いれば推定することができる
さらに面白いのは、状態フィードバックと同じ理論で、推定の可能性や速度・精度を設定できる

講義11 オブザーバの設計

オブザーバの構成

状態フィードバック制御を行う上で、 $x(t)$ の全成分が計測できない場合がある
その場合、オブザーバを用いて、 $\hat{x}(t)$ を推定することで、フィードバック制御を行う

この場合、状態フィードバック制御は、 $u(t) = -f \hat{x}(t)$ となり、

$\displaystyle \dot{x}(t) = A x(t) - b f \hat{x}(t)$

となる

ここで、オブザーバとして、下記の微分方程式で $\hat{x}(t)$ を推定する

$\displaystyle \dot{ \hat{x} }(t) = A \hat{x}(t) - b f \hat{x}(t) + h \lbrace y(t) - c \hat{x}(t) \rbrace$

この場合、推定誤差 $e(t) = \hat{x}(t) - x(t)$ は

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{e} (t) &= \dot{ \hat{x} }(t) - \dot{x}(t) \\ &= A \hat{x}(t) - b f \hat{x}(t) + h \lbrace y(t) - c \hat{x}(t) \rbrace - \lbrace A x(t) - b f \hat{x}(t) \rbrace \\ &= A \lbrace \hat{x}(t) - x(t) \rbrace + h \lbrace c x(t) - c \hat{x}(t) \rbrace \\ &= A \lbrace \hat{x}(t) - x(t) \rbrace - h c \lbrace c \hat{x}(t) - x(t) \rbrace \\ &= (A - h c) e(t) \end{aligned}$

となり、状態フィードバックと同様に、
$A - hc$ の固有値を極配置することで、
$e(t) \rightarrow 0$ と収束させることができる

状態遷移図で表すと下図になる

設定したシステムモデルの出力 $c \hat{x}(t)$ と実際の計測値 $y(t)$ の差分をオブザーバゲイン $h$ でフィードバックしている

Pythonによる数値シミュレーション

2x2の以下のシステムの自由応答における状態ベクトルを推定する

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} \\ y(t) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} \\ x(0) &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

例11.1 $\lambda = -1, -2$

$h = \begin{bmatrix} -2 \quad 6 \end{bmatrix}^T$ となり、オブザーバは下記になる

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \hat{x}_1 (t) \\ \hat{x}_2 (t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{x}_1 (t) \\ \hat{x}_2 (t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix} \lbrace y(t) - \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{x}_1 (t) \\ \hat{x}_2 (t) \end{bmatrix} \rbrace \\ \hat{x}(0) &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

xhat1_arr = [0.0]
xhat2_arr = [0.0]
t = [0.0]
x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1]) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1]) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1]

    xhat1_arr += [xhat1_arr[-1] + (0  * xhat1_arr[-1] + 1  * xhat2_arr[-1] + (-2.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]
    xhat2_arr += [xhat2_arr[-1] + (-6 * xhat1_arr[-1] - 5  * xhat2_arr[-1] + ( 6.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-', label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.plot(t, xhat1_arr, ':', label='$\hat{x}_1$')
ax1.plot(t, xhat2_arr, '-.', label='$\hat{x}_2$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 10)
ax1.set_ylim(-1.0, 3.0)

ax2.plot(t, np.array(xhat1_arr) - np.array(x1_arr), '-', label='$e_1$')
ax2.plot(t, np.array(xhat2_arr) - np.array(x2_arr), '--', label='$e_2$')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(-2.0, 4.0)
fig.tight_layout()

例11.3 $\lambda = -8, -9$

$h = \begin{bmatrix} 12 \quad 6 \end{bmatrix}^T$

xhat1_arr = [0.0]
xhat2_arr = [0.0]
t = [0.0]
x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1]) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1]) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1]

    xhat1_arr += [xhat1_arr[-1] + (0  * xhat1_arr[-1] + 1  * xhat2_arr[-1] + (12.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]
    xhat2_arr += [xhat2_arr[-1] + (-6 * xhat1_arr[-1] - 5  * xhat2_arr[-1] + ( 6.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-', label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.plot(t, xhat1_arr, ':', label='$\hat{x}_1$')
ax1.plot(t, xhat2_arr, '-.', label='$\hat{x}_2$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 10)
ax1.set_ylim(-1.0, 3.0)

ax2.plot(t, np.array(xhat1_arr) - np.array(x1_arr), '-', label='$e_1$')
ax2.plot(t, np.array(xhat2_arr) - np.array(x2_arr), '--', label='$e_2$')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(-2.0, 4.0)
fig.tight_layout()

状態フィードバック制御と同様、極配置を負に大きくすると、より早く収束する

例11.4 $\lambda = -5 + j6, -5 - j6$

$h = \begin{bmatrix} 5 \quad 30 \end{bmatrix}^T$

xhat1_arr = [0.0]
xhat2_arr = [0.0]
t = [0.0]
x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1]) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1]) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1]

    xhat1_arr += [xhat1_arr[-1] + (0  * xhat1_arr[-1] + 1  * xhat2_arr[-1] + ( 5.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]
    xhat2_arr += [xhat2_arr[-1] + (-6 * xhat1_arr[-1] - 5  * xhat2_arr[-1] + (30.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-', label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.plot(t, xhat1_arr, ':', label='$\hat{x}_1$')
ax1.plot(t, xhat2_arr, '-.', label='$\hat{x}_2$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 10)
ax1.set_ylim(-1.0, 3.0)

ax2.plot(t, np.array(xhat1_arr) - np.array(x1_arr), '-', label='$e_1$')
ax2.plot(t, np.array(xhat2_arr) - np.array(x2_arr), '--', label='$e_2$')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(-2.0, 4.0)
fig.tight_layout()