前回 : はじめての現代制御理論講義11 オブザーバの設計 - ma-hi-ro Hobby

講義12 状態フィードバック制御とオブザーバの併合システムの設計

合わせて使う場合の注意点
当然だが、「観測」の方を先に収束させないと、「制御」は収束できない

講義12 状態フィードバック制御とオブザーバの併合システムの設計

オブザーバを用いた状態フィードバック制御系の構成

講義09の状態フィードバックと、講義11のオブザーバを合わせて使用する場合を考える

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + b u(t) \\ \dot{ \hat{x} }(t) &= A \hat{x}(t) + b u(t) + h \lbrace y(t) - c \hat{x}(t) \rbrace \\ u(t) &= - f \hat{x}(t) \end{aligned}$

状態変数線図は下図になる

併合システムの特性の解析

オブザーバの時と同様に推定誤差 $e(t) = \hat{x}(t) - x(t)$ を用いると、 $\dot{x}(t)$ は下記になる

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + b u(t) \\ &= A x(t) - b f \hat{x}(t) \\ &= A x(t) - b f e(t) - b f x(t) \\ &= (A - b f) x(t) - b f e(t) \end{aligned}$

一方、 $\dot{e}(t)$ は下記になる

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{e}(t) &= \dot{ \hat{x} }(t) - \dot{x}(t) \\ &= A \hat{x}(t) + b u(t) + h \lbrace y(t) - c \hat{x}(t) \rbrace - \lbrace A x(t) + b u(t) \rbrace \\ &= A \hat{x}(t) - b f \hat{x}(t) + h \lbrace c x(t) - c \hat{x}(t) \rbrace - \lbrace A x(t) - b f \hat{x}(t) \rbrace \\ &= A \hat{x}(t) - h c \lbrace \hat{x}(t) - x(t) \rbrace - A x(t) \\ &= A \lbrace \hat{x}(t) - x(t) \rbrace - h c \lbrace \hat{x}(t) - x(t) \rbrace \\ &= A e(t) - h c e(t) \\ &= (A - h c) e(t) \end{aligned}$

この２つを合わせると、下記の拡張システムになる

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x(t) \\ e(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A - b f & - b f \\ 0 & A - h c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \\ e(t) \end{bmatrix}$

固有値は、

$\displaystyle \begin{vmatrix} \lambda I - (A - b f) & b f \\ 0 & \lambda I - (A - h c) \end{vmatrix} = 0$

となるが、下記の関係が成り立つため、

$\displaystyle \begin{vmatrix} A & B \\ 0 & D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & 0 \\ C & D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} D \end{vmatrix}$

結局、固有値の計算は、下記になる

$\displaystyle \begin{vmatrix} \lambda I - (A - b f) \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \lambda I - (A - h c) \end{vmatrix} = 0$

このことから、 $A - bf$ と $A - hc$ の固有値を独立して選ぶことができることがわかる
つまり、フィードバックゲイン $f$ とオブザーバゲイン $h$ を独立して設計できる

設計上の注意

オブザーバが収束してから、フィードバックで正しく制御できるため、
オブザーバの極を、フィードバックの極より複素平面の左に配置する必要がある

Pythonによる数値シミュレーション

2x2の以下のシステムでの併合システムを考える

以下のシステムの併合システムを考える

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \\ y(t) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} \\ x(0) &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

自由応答の極は $\lbrace-2, -3 \rbrace$ である

また、オブザーバの初期値は、 $\hat{x}(0) = \lbrace 0, 0 \rbrace$ とする

例12.1 オブザーバが遅い場合

閉ループの極を $\lbrace -5, -6 \rbrace$ / フィードバックゲインは $\lbrace 24, 6 \rbrace$
オブサーバの極を $\lbrace -2, -3 \rbrace$ / オブザーバゲインは $\lbrace -2, 6 \rbrace ^T$

xhat1_arr = [0.0]
xhat2_arr = [0.0]
t = [0.0]
x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]
x1_fb_arr = [1.0]
x2_fb_arr = [1.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1] - 0.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1])) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1] - 1.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1])) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1]

    xhat1_arr += [xhat1_arr[-1] + (0  * xhat1_arr[-1] + 1  * xhat2_arr[-1] - 0.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1]) + (-2.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]
    xhat2_arr += [xhat2_arr[-1] + (-6 * xhat1_arr[-1] - 5  * xhat2_arr[-1] - 1.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1]) + ( 6.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]

    x1_fb_arr += [x1_fb_arr[-1] + (0  * x1_fb_arr[-1] + 1  * x2_fb_arr[-1] - 0.0 * (24 * x1_fb_arr[-1] + 6 * x2_fb_arr[-1])) * dt]
    x2_fb_arr += [x2_fb_arr[-1] + (-6 * x1_fb_arr[-1] - 5  * x2_fb_arr[-1] - 1.0 * (24 * x1_fb_arr[-1] + 6 * x2_fb_arr[-1])) * dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-',  label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.plot(t, x1_fb_arr, ':',  label='$x_{sf1}$')
ax1.plot(t, x2_fb_arr, '-.', label='$x_{sf2}$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 5)
ax1.set_ylim(-2.0, 1.5)

ax2.plot(t, x1_arr, '-',  label='$x_1$')
ax2.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax2.plot(t, xhat1_arr, ':',  label='$\hat{x}_1$')
ax2.plot(t, xhat2_arr, '-.', label='$\hat{x}_2$')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_xlim(0, 5)
ax2.set_ylim(-2.0, 3.0)
fig.tight_layout()

状態ベクトルが観測できる場合と比べて、明らかに遅くなっている

例12.3 オブザーバが速い場合

閉ループの極を $\lbrace -5, -6 \rbrace$ / フィードバックゲインは $\lbrace 24, 6 \rbrace$
オブサーバの極を $\lbrace -8, -9 \rbrace$ / オブザーバゲインは $\lbrace 12, 6 \rbrace ^T$

xhat1_arr = [0.0]
xhat2_arr = [0.0]
t = [0.0]
x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]
x1_fb_arr = [1.0]
x2_fb_arr = [1.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1] - 0.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1])) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1] - 1.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1])) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1]

    xhat1_arr += [xhat1_arr[-1] + (0  * xhat1_arr[-1] + 1  * xhat2_arr[-1] - 0.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1]) + (12.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]
    xhat2_arr += [xhat2_arr[-1] + (-6 * xhat1_arr[-1] - 5  * xhat2_arr[-1] - 1.0 * (24 * xhat1_arr[-1] + 6 * xhat2_arr[-1]) + ( 6.0) * (y - (1.0 * xhat1_arr[-1] + 0.0 * xhat2_arr[-1]))) * dt]

    x1_fb_arr += [x1_fb_arr[-1] + (0  * x1_fb_arr[-1] + 1  * x2_fb_arr[-1] - 0.0 * (24 * x1_fb_arr[-1] + 6 * x2_fb_arr[-1])) * dt]
    x2_fb_arr += [x2_fb_arr[-1] + (-6 * x1_fb_arr[-1] - 5  * x2_fb_arr[-1] - 1.0 * (24 * x1_fb_arr[-1] + 6 * x2_fb_arr[-1])) * dt]

fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

ax1.plot(t, x1_arr, '-',  label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.plot(t, x1_fb_arr, ':',  label='$x_{sf1}$')
ax1.plot(t, x2_fb_arr, '-.', label='$x_{sf2}$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 5)
ax1.set_ylim(-2.0, 1.5)

ax2.plot(t, x1_arr, '-',  label='$x_1$')
ax2.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax2.plot(t, xhat1_arr, ':',  label='$\hat{x}_1$')
ax2.plot(t, xhat2_arr, '-.', label='$\hat{x}_2$')
ax2.grid()
ax2.legend()
ax2.set_xlim(0, 5)
ax2.set_ylim(-2.0, 3.0)
fig.tight_layout()