前回 : はじめての現代制御理論講義12 状態フィードバック制御とオブザーバの併合システムの設計 - ma-hi-ro Hobby

講義13 サーボ系の設計

これまでだと、0に収束させることしかできない
構成を追加することで、外乱や、目標値のプロファイル駆動に適用させる

講義13 サーボ系の設計

サーボ系の構成

外乱 $d(t)$ 、目標値 $r(t)$ が加わる場合、
目標値 $r(t)$ と観測値 $y(t)$ との差 $e(t) = r(t) - y(t)$ を積算して制御に加える

状態変数線図は下図になる

このシステムの表現は下記になる

$\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + b u(t) + b d(t) \\ y(t) &= c x(t) \\ u(t) &= - f x(t) + g z(t) \\ \dot{z}(t) &= e(t) = r(t) - y(t) = r(t) - c x(t) \end{aligned}$

ここで、 $x(t) \rightarrow [ x(t) \quad z(t)$ ] の拡大系を考えると

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A - b f & b g \\ -c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b d(t) \\ r(t) \end{bmatrix}$

となる

このシステムの固有値がすべて負であれば、 $y(t) \rightarrow r(t)$ に収束することができる

Pythonによる数値シミュレーション

2x2の以下のシステムでのサーボ構成を考える

以下のシステムで考える

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \\ x(0) &= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

また、外乱は $d(t) = -1 (t > 0)$ 、目標値は $r(t) = 1 (t > 0)$ とする

この場合、拡大系は、

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ z(t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -6 & -5 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ z(t) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & -g \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ z(t) \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_1 (0) \\ x_2 (0) \\ z(0) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

例13.3 閉ループの極を $-3$ の３重根とする

フィードバックゲインは $\lbrace f_1, f_2, g \rbrace = \lbrace 21, 4, 27 \rbrace$

t = [0.0]
x1_arr = [-1.0]
x2_arr = [ 0.0]
z_arr = [ 0.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1] + 0 * z_arr[-1] - 0.0 * (21 * x1_arr[-1] + 4 * x2_arr[-1] - 27 * z_arr[-1]) + 0.0) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1] + 0 * z_arr[-1] - 1.0 * (21 * x1_arr[-1] + 4 * x2_arr[-1] - 27 * z_arr[-1]) - 1.0) * dt]
    z_arr  += [z_arr[-1]  + (-1 * x1_arr[-1] + 0  * x2_arr[-1] + 0 * z_arr[-1] - 0.0 * (21 * x1_arr[-1] + 4 * x2_arr[-1] - 27 * z_arr[-1]) + 1.0) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1] + 0.0 * z_arr[-1]

fig = plt.figure(figsize=(5, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)

ax1.plot(t, x1_arr, '-',  label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 5)
ax1.set_ylim(-1.2, 3.2)

fig.tight_layout()

目標値に収束できている

例13 演習問題2 .3 閉ループの極を $-3, -3 \pm j2$ とする

フィードバックゲインは $\lbrace f_1, f_2, g \rbrace = \lbrace 25, 4, 39 \rbrace$

t = [0.0]
x1_arr = [-1.0]
x2_arr = [ 0.0]
z_arr = [ 0.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1] + 0 * z_arr[-1] - 0.0 * (25 * x1_arr[-1] + 4 * x2_arr[-1] - 39 * z_arr[-1]) + 0.0) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] - 5  * x2_arr[-1] + 0 * z_arr[-1] - 1.0 * (25 * x1_arr[-1] + 4 * x2_arr[-1] - 39 * z_arr[-1]) - 1.0) * dt]
    z_arr  += [z_arr[-1]  + (-1 * x1_arr[-1] + 0  * x2_arr[-1] + 0 * z_arr[-1] - 0.0 * (25 * x1_arr[-1] + 4 * x2_arr[-1] - 39 * z_arr[-1]) + 1.0) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]
    y = 1.0 * x1_arr[-1] + 0.0 * x2_arr[-1] + 0.0 * z_arr[-1]

fig = plt.figure(figsize=(5, 4))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)

ax1.plot(t, x1_arr, '-',  label='$x_1$')
ax1.plot(t, x2_arr, '--', label='$x_2$')
ax1.grid()
ax1.legend()
ax1.set_xlim(0, 5)
ax1.set_ylim(-1.2, 3.2)

fig.tight_layout()