前回 : はじめての現代制御理論講義02 状態空間表現 - ma-hi-ro Hobby

講義03 行列とベクトルの基本事項

逆行列の求め方を、2x2、3x3の求め方を暗記していただけで、「余因子」の考えがなかった余因子を覚えれば、どんな行列の逆行列も求めることができるあとは、「特性方程式」が当然ながら大事固有値が、システムの特性を表すことになる

講義03 行列とベクトルの基本事項

行列の余因子と行列式

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} A_{1j}$

行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 、余因子 $A_{ij}$

2x2行列の行列式

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$

の場合、各余因子は下記になる

$\displaystyle A_{11} = (-1)^{1+1} \times a_{22} = a_{22} \\ A_{12} = (-1)^{1+2} \times a_{21} = -a_{21} \\ A_{21} = (-1)^{2+1} \times a_{12} = -a_{12} \\ A_{22} = (-1)^{2+2} \times a_{11} = a_{11} \\$

行列式は下記になる

$\displaystyle \begin{eqnarray} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} &=& \sum_{j=1}^{2} a_{1j} A_{1j} = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} \\ &=& a_{11} (a_{22}) + a_{12} (-a_{21}) \\ &=& a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{eqnarray}$

暗記していたやつと一緒

3x3行列の行列式

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

の場合、各余因子は下記になる( $i=1$ のみ)

$\displaystyle \begin{eqnarray} A_{11} &=& (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &=& a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} \\ A_{12} &=& (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &=& -a_{21} a_{33} + a_{23} a_{31} \\ A_{13} &=& (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &=& a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31} \end{eqnarray}$

行列式は下記になる

$\displaystyle \begin{eqnarray} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} &=& \sum_{j=1}^{3} a_{1j} A_{1j} = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} \\ &=& a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) + a_{12} (-a_{21} a_{33} + a_{23} a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31}) \\ &=& a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} \\ &=& a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} \\ \end{eqnarray}$

こちらも暗記していたやつと一緒

余因子行列と逆行列

逆行列

$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} adj(A)$

余因子行列(3x3行列の例)

$\displaystyle adj(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}$

2x2行列の逆行列

$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix} = \frac{1}{ a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} } \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$

3x3行列の逆行列(具体例)

$\displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

各余因子

$\displaystyle \begin{eqnarray} A_{11} &=& (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} &=& -4 &,& A_{12} &=& (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} &=& 2 &,& A_{13} &=& (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} &=& 2 \\ A_{21} &=& (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} &=& 7 &,& A_{22} &=& (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} &=& -5 &,& A_{23} &=& (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} &=& -8 \\ A_{31} &=& (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} &=& -5 &,& A_{32} &=& (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} &=& 1 &,& A_{33} &=& (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} &=& 4 \end{eqnarray}$

行列式

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = (2) (-4) + (-2) (2) + (3) (2) = -6$

逆行列

$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} adj(A) = -\frac{1}{6} \begin{bmatrix} -4 & 7 & -5 \\ 2 & -5 & 1 \\ 2 & -8 & 4 \end{bmatrix}$