前回 : はじめての現代制御理論講義03 行列とベクトルの基本事項 - ma-hi-ro Hobby

講義04 状態空間表現と伝達関数表現の関係

古典制御と現代制御の関係に近い
状態空間 -> 伝達関数は一意に変換されるが、
伝達関数 -> 状態空間への変換は、状態ベクトルをどのように定義するかで、選ぶことができる

講義04 状態空間表現と伝達関数表現の関係

伝達関数表現から状態空間表現への変換

下記の伝達関数を変換する

$\displaystyle G(s) = \frac{2s^3 + 5s^2 + 5s + 5}{s^3 + 2s^2 + s + 1}$

分子を通分する

$\displaystyle G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s^2 + 3s + 3}{s^3 + 2s^2 + s + 1} + 2$

ここで $X(s)$ を下記のように定義すると

$\displaystyle X(s) = \frac{U(s)}{s^3 + 2s^2 + s + 1}$

$Y(s)$ は下記のようになる

$\displaystyle Y(s) = (s^2 + 3s + 3) X(s) + 2 U(s)$

$X(s)$ の方は、

$\displaystyle \frac{d^3}{dt^3} x(t) + 2 \frac{d^2}{dt^2} x(t) + \frac{d}{dt} x(t) + x(t) = u(t) \\ \frac{d^3}{dt^3} x(t) = - x(t) - \frac{d}{dt} x(t) - 2 \frac{d^2}{dt^2} x(t) + u(t)$

これに [tex: \frac{d²}{dt²} x(t)] と [tex: \frac{d²}{dt²} x(t)] を加えると

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} x(t) &=& 0 &\times& x(t) + 1 &\times& \frac{d}{dt} x(t) + 0 &\times& \frac{d^2}{dt^2} x(t) + 0 &\times& u(t) \\ \frac{d^2}{dt^2} x(t) &=& 0 &\times& x(t) + 0 &\times& \frac{d}{dt} x(t) + 1 &\times& \frac{d^2}{dt^2} x(t) + 0 &\times& u(t) \\ \frac{d^3}{dt^3} x(t) &=& -1 &\times& x(t) - 1 &\times& \frac{d}{dt} x(t) - 2 &\times& \frac{d^2}{dt^2} x(t) + 1 &\times& u(t) \end{eqnarray}$

これから状態方程式を作ることができる

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x(t) \\ \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d^2}{dt^2} x(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \\ \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d^2}{dt^2} x(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t)$

また、 $Y(s)$ については、

$\displaystyle \begin{eqnarray} Y(s) &=& (s^2 + 3s + 3) X(s) + 2 U(s) \\ y(t) &=& \frac{d^2}{dt^2} x(t) + 3 \frac{d}{dt} x(t) + 3 x(t) + 2 u(t) \end{eqnarray}$

となり、同様に観測方程式を作ることができる

$\displaystyle y(t) = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \\ \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d^2}{dt^2} x(t) \end{bmatrix} + 2 u(t)$

状態空間表現から伝達関数表現への変換

下記の状態空間表現を変換する

$\displaystyle \begin{eqnarray} \dot{x(t)} &=& A x(t) + b u(t) \\ y(t) &=& c x(t) + d u(t) \end{eqnarray}$

$X(s)$ について解くと

$\displaystyle \begin{eqnarray} s X(s) &=& A X(s) + b U(s) \\ (s I - A) X(s) &=& b U(s) \\ X(s) &=& (s I - A)^{-1} b U(s) \end{eqnarray}$

これを用いて、 $Y(s)$ について解くと

$\displaystyle \begin{eqnarray} Y(s) &=& c X(s) + d U(s) \\ Y(s) &=& c (s I - A)^{-1} b U(s) + d U(s) \\ G(s) &=& \frac{Y(s)}{U(s)} = c (s I - A)^{-1} b + d \end{eqnarray}$