前回 : はじめての現代制御理論講義04 状態空間表現と伝達関数表現の関係 - ma-hi-ro Hobby

講義05 状態変数線図と状態変数変換

対角化することで、固有値の影響がわかりやすくなる

講義05 状態変数線図と状態変数変換

状態変数線図

$\displaystyle \begin{eqnarray} \dot{x}(t) &=& A x(t) + b u(t) \\ y(t) &=& c x(t) \end{eqnarray}$

状態変数変換

$\displaystyle \begin{eqnarray} \dot{x}(t) &=& A x(t) + b u(t) \\ y(t) &=& c x(t) + d u(t) \end{eqnarray}$

状態変換行列 $T$ を用いて変換する

$\displaystyle z(t) = T^{-1} x(t) \quad (x(t) = T z(t))$

変換すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} \dot{z}(t) &=& T^{-1} A T z(t) + T^{-1} b u(t) \\ y(t) &=& c T z(t) + d u(t) \end{eqnarray}$

パラメータが下記のように変換されたことになる

$\displaystyle \begin{eqnarray} A^{\prime} &=& T^{-1} A T \\ b^{\prime} &=& T^{-1} b \\ c^{\prime} &=& c T \\ \end{eqnarray}$

伝達関数の変化

状態変数変換によって、伝達関数は変わらない

$z(t), y(t)$ に関する伝達関数を求める
まずは、 $z(t), y(t)$ について

$\displaystyle \begin{eqnarray} s Z(s) &=& T^{-1} A T Z(s) + T^{-1} b U(s) \\ (s I - T^{-1} A T) Z(s) &=& T^{-1} b U(s) \\ Z(s) &=& (s I - T^{-1} A T)^{-1} T^{-1} b U(s) \\ &=& (s T^{-1} T - T^{-1} A T)^{-1} T^{-1} b U(s) \\ &=& \{T^{-1} (s I - A) T \}^{-1} T^{-1} b U(s) \\ &=& (T)^{-1} (s I - A)^{-1} (T^{-1})^{-1} T^{-1} b U(s) \quad ( (A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) \\ &=& T^{-1} (s I - A)^{-1} T T^{-1} b U(s) \\ &=& T^{-1} (s I - A)^{-1} b U(s) \\ \end{eqnarray}$

これを用いて、 $y(t)$ については

$\displaystyle \begin{eqnarray} Y(s) &=& c T Z(s) + d U(s) \\ &=& c T T^{-1} (s I - A)^{-1} b U(s) + d U(s) \\ &=& c (s I - A)^{-1} b U(s) + d U(s) \end{eqnarray}$

よって、伝達関数 $G(s)$ は

$\displaystyle G(s) = [frac{Y(s)}{U(s)} = c (s I - A)^{-1} b + d$

となり、もともとの伝達関数と同じになる

対角化による状態変数線図

状態変数変換を用いて、 $A$ を対角化すると、状態変数線図がシンプルになる
対角化には、固有ベクトルを使用する

下記の状態方程式、観測方程式のシステムで考える

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \\ y(t) &=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

固有値は $\lambda = -2, -3$
固有ベクトルから、対角化行列 $T$ を定め、その逆行列 $T^{-1}$ を求める

$\displaystyle \begin{eqnarray} T &=& \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ T^{-1} &=& \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

これらを用いて、新しいパラメータを求めると

$\displaystyle \begin{eqnarray} A^{\prime} &=& T^{-1} A T &=& \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} ( = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} ) \\ b^{\prime} &=& T^{-1} b &=& \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \\ c^{\prime} &=& c T &=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

よって、変換後の状態方程式、観測方程式は下記になる

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} z_1(t) \\ z_2(t) \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1(t) \\ z_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} u(t) \\ y(t) &=& \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1(t) \\ z_2(t) \end{bmatrix} \end{eqnarray}$