前回 : はじめての現代制御理論講義05 状態変数線図と状態変数変換 - ma-hi-ro Hobby

講義06 状態方程式の自由応答

行列指数関数 $e^{At}$ という魔法のような表現方法

講義06 状態方程式の自由応答

行列指数関数

入力 $u(t)$ がない場合の応答を求める

$\displaystyle \begin{eqnarray} \dot{x}(t) &=& A x(t) \\ s X(s) - x(0) &=& A X(s) \\ (s I - A) X(s) &=& x(0) \\ X(s) &=& (s I - A)^{-1} x(0) \end{eqnarray}$

ここで、行列指数関数 $e^{At}$ を導入

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{1}{s I - A} \end{bmatrix} = e^{At}$

これは、下記のスカラーの逆ラプラス変換と同じ感じ

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{1}{s - a} \end{bmatrix} = e^{at}$

結局、 $x(t)$ は、下記になる

$\displaystyle x(t) = e^{At} x(0)$

2x2の具体例

下記のシステムについて

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix}$

解析すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} (s I - A)^{-1} &=& \frac{1}{s^2 + 5 s + 6} \begin{bmatrix} s + 5 & 1 \\ -6 & s \end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix} \frac{3}{s+2} - \frac{2}{s+3} & \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3} \\ \frac{-6}{s+2} + \frac{6}{s+3} & \frac{-2}{s+2} + \frac{3}{s+3} \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

行列指数関数は下記になる

$\displaystyle e^{At} = \begin{bmatrix} 3 e^{-2 t} - 2 e^{-3 t} & e^{-2 t} - e^{-3 t} \\ -6 e^{-2 t} + 6 e^{-3 t} & -2 e^{-2 t} + 3 e^{-3 t} \end{bmatrix}$

初期値を与えると下記のように解ける

$\displaystyle x(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ e^{At} x(0) = \begin{bmatrix} 4 e^{-2 t} - 3 e^{-3 t} \\ -8 e^{-2 t} + 9 e^{-3 t} \end{bmatrix}$

グラフにすると下図になる

fig = plt.figure(figsize=(6, 4))
ax = fig.add_subplot(111)
t = np.arange(0, 5, 0.001)
x1_arr =  4 * np.exp(-2 * t) - 3 * np.exp(-3 * t)
x2_arr = -8 * np.exp(-2 * t) + 9 * np.exp(-3 * t)
ax.plot(t, x1_arr, '-',  label='x1')
ax.plot(t, x2_arr, '--', label='x2')
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_xlim(0, 5)
ax.set_ylim(-1.0, 1.5)
fig.tight_layout()

Pythonによる数値シミュレーション

実際に、状態方程式を逐次計算した場合をシミュレーションしてみる

x1_arr = [1.0]
x2_arr = [1.0]
t = [0.0]

dt = 0.001
for i in range(5000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1]) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] + -5 * x2_arr[-1]) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]

fig = plt.figure(figsize=(6, 4))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(t, x1_arr, '-', label='x1')
ax.plot(t, x2_arr, '--', label='x2')
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_xlim(0, 5)
ax.set_ylim(-1.0, 1.5)
fig.tight_layout()