前回 : はじめての現代制御理論講義06 状態方程式の自由応答 - ma-hi-ro Hobby

講義07 システムの応答~状態方程式の解~

一応、システムを定めれば解析的には解ける
が、現実はそんなに甘くないので、制御が必要

講義07 システムの応答~状態方程式の解~

状態方程式の解

$\displaystyle \dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\$

の解を求める

両辺に左から $e^{-At}$ をかけて変形していく

$\displaystyle \begin{eqnarray} e^{-At} \dot{x}(t) - e^{-At} A x(t) &=& e^{-At} b u(t) \\ \frac{d}{dt} [ e^{-At} x(t) ] &=& e^{-At} b u(t) \\ \end{eqnarray}$

$t \rightarrow \tau$ に変換して、 $\int_{0}^{t} d \tau$ （0から $t$ まで積分）すると

$\displaystyle e^{-At} x(t) - x(0) = \int_0^t e^{-A \tau} b u(\tau) d \tau$

$\displaystyle \begin{eqnarray} x(t) &=& e^{At} x(0) + e^{At} \int_0^t e^{-A \tau} b u(\tau) d \tau \\ &=& e^{At} x(0) + \int_0^t e^{A (t - \tau)} b u(\tau) d \tau \end{eqnarray}$

第1項は、自由応答と同じ
第2項は、入力（操作量）を積分したものになる

2x2の具体例

下記のシステムについて

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t)$

$\displaystyle x(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\displaystyle u(t) = 1$

講義06から

$\displaystyle e^{At} = \begin{bmatrix} 3 e^{-2 t} - 2 e^{-3 t} & e^{-2 t} - e^{-3 t} \\ -6 e^{-2 t} + 6 e^{-3 t} & -2 e^{-2 t} + 3 e^{-3 t} \end{bmatrix}$

入力を考えると

$\displaystyle \begin{aligned} e^{A (t - \tau)} b u(\tau) &= e^{A (t - \tau)} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \times 1 \\ &= \begin{bmatrix} e^{-2 (t - \tau)} - e^{-3 (t - \tau)} \\ -2 e^{-2 (t - \tau)} + 3 e^{-3 (t - \tau)} \end{bmatrix} \end{aligned}$

積分すると

$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^t e^{A (t - \tau)} b u(\tau) d \tau &= \begin{bmatrix} [ \frac{1}{2} e^{-2 (t - \tau)} - \frac{1}{3} e^{-3 (t - \tau)} ]_0^t \\ [ - e^{-2 (t - \tau)} + e^{-3 (t - \tau)} ]_0^t \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) - ( \frac{1}{2} e^{-2 t} - \frac{1}{3} e^{-3 t} ) \\ ( -1 + 1 ) - ( - e^{-2 t} + e^{-3 t} ) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{6} - \frac{1}{2} e^{-2 t} + \frac{1}{3} e^{-3 t} \\ e^{-2 t} - e^{-3 t} \end{bmatrix} \end{aligned}$

自由応答の第１項と合わせると解は

$\displaystyle \begin{aligned} x(t) &= \begin{bmatrix} 3 e^{-2 t} - 2 e^{-3 t} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} e^{-2 t} + \frac{1}{3} e^{-3 t} \\ -6 e^{-2 t} + 6 e^{-3 t} + e^{-2 t} - e^{-3 t} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{6} - \frac{5}{2} e^{-2 t} - \frac{5}{3} e^{-3 t} \\ -5 e^{-2 t} + 5 e^{-3 t} \end{bmatrix} \end{aligned}$

グラフにすると下図になる

fig = plt.figure(figsize=(6, 4))
ax = fig.add_subplot(111)
t = np.arange(0, 10, 0.001)
x1_arr =  1/6 + (5/2) * np.exp(-2 * t) - (5/3) * np.exp(-3 * t)
x2_arr = -5 * np.exp(-2 * t) + 5 * np.exp(-3 * t)
ax.plot(t, x1_arr, '-',  label='x1')
ax.plot(t, x2_arr, '--', label='x2')
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(-1.0, 1.0)
fig.tight_layout()

Pythonによる数値シミュレーション

実際に、状態方程式を逐次計算した場合をシミュレーションしてみる

x1_arr = [1.0]
x2_arr = [0.0]
t = [0.0]

dt = 0.001
for i in range(10000):
    x1_arr += [x1_arr[-1] + (0  * x1_arr[-1] + 1  * x2_arr[-1] + 0.0 * 1.0) * dt]
    x2_arr += [x2_arr[-1] + (-6 * x1_arr[-1] + -5 * x2_arr[-1] + 1.0 * 1.0) * dt]
    t      += [t[-1] + dt]

fig = plt.figure(figsize=(6, 4))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(t, x1_arr, '-',  label='x1')
ax.plot(t, x2_arr, '--', label='x2')
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(-1.0, 1.0)
fig.tight_layout()