講義01 現代制御とは

伝達関数か、状態方程式か

講義01 現代制御とは

並列な2タンクシステム

各タンクの底面積 $C$ 、水面の高さ $h$ 、流入量 $q_i$ 、流出量 $q_o$ とすると、

$\displaystyle C_1 \frac{dh_1(t)}{dt} = q_{i1}(t) - q_{o1}(t)$

$\displaystyle C_2 \frac{dh_2(t)}{dt} = q_{i2}(t) - q_{o2}(t) \quad ( q_{i1}(t) = q_{i2}(t) = q_i(t) )$

が成り立つ

水面の高さと流出量の関係は、 $q_{o}(t) = \frac{1}{R} h(t)$ が成り立つので、

$\displaystyle R_1 C_1 \frac{dh_1(t)}{dt} = -h_1(t) + R_1 q_i(t)$

$\displaystyle R_2 C_2 \frac{dh_2(t)}{dt} = -h_2(t) + R_2 q_i(t)$

となり、状態方程式にすると、

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{R_1 C_1} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{R_2 C_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{C_1} \\ \frac{1}{C_2} \end{pmatrix} q_i(t)$

となり、それぞれのタンクの状態が独立している

直列な2タンクシステム

今度は、タンク1の流出が、タンク2に流入する場合を考える

$\displaystyle q_{i1}(t) = q_i(t) \quad q_{i2}(t) = q_{o1}(t)$

同様に式を立てると、

$\displaystyle R_1 C_1 \frac{dh_1(t)}{dt} = -h_1(t) + R_1 q_i(t)$

$\displaystyle R_2 C_2 \frac{dh_2(t)}{dt} = -h_2(t) + \frac{R_2}{R_1} h_1(t)$

となり、状態方程式にすると、

$\displaystyle \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{R_1 C_1} & 0 \\ \frac{1}{R_1 C_2} & -\frac{1}{R_2 C_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{C_1} \\ 0 \end{pmatrix} q_i(t)$