前回 : Pythonで学ぶ！ベイズ統計第1回 - ma-hi-ro Hobby

Pythonで学ぶ！ベイズ統計第2回

ベイズの定理と利用例

Pythonで学ぶ！ベイズ統計第2回
- ベイズの定理
  - 利用例
    - 表で表す
- 参考文献

ベイズの定理

前回の条件付確率は下記になる

$\displaystyle \begin{aligned} P(A|B) &= \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ P(B|A) &= \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \end{aligned}$

これを変形すると下記になる

$\displaystyle \begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A|B) P(B) \\ P(B \cap A) &= P(B|A) P(A) \end{aligned}$

さらに、この２つは同時確率で同じくになるので、下記が成り立つ

$\displaystyle \begin{aligned} P(A|B) P(B) &= P(B|A) P(A) \\ P(A|B) &= \dfrac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \end{aligned}$

これをベイズの定理と呼ぶ
さらに、今後、関係してくるのは、下記の変形を施したものになる

$\displaystyle \begin{aligned} P(B) &= P(B|A) P(A) + P(B|\bar{A}) P(\bar{A}) \\ P(A|B) &= \dfrac{P(B|A) P(A)}{P(B|A) P(A) + P(B|\bar{A}) P(\bar{A})} \end{aligned}$

利用例

よく例として出るのが、病気の陽性・陰性の検査である
- 一般的に、病気の確率が0.1%である病気
- 検査で、病気に罹患している場合は、99%の人が陽性になる
- 検査で、病気に罹患してない場合も、3%の人が陽性になる

この検査で陽性だった場合に、その人が罹患している確率を求める

$A$ : 罹患している
$\bar{A}$ : 罹患していない
$B$ : 検査で陽性
$\bar{B}$ : 検査で陰性

とすると、
求めるのは、「"陽性"の場合に"罹患している"」なので、
$P(A|B)$ を求める

$\displaystyle \begin{aligned} P(A) &= 0.1\% &= 0.001 \\ P(\bar{A}) &= 99.9\% &= 0.999 \\ P(B|A) &= 99\% &= 0.99 \\ P(B|\bar{A}) &= 3\% &= 0.03 \end{aligned}$

から

$\displaystyle \begin{aligned} P(A|B) &= \dfrac{P(B|A) P(A)}{P(B|A) P(A) + P(B|\bar{A}) P(\bar{A})} \\ &= \dfrac{0.99 \times 0.001}{0.99 \times 0.001 + 0.03 \times 0.999} \\ &= \dfrac{0.99}{0.99 + 29.97} \\ &= 0.032 = 3.2\% \end{aligned}$